© Carmen María Bosque Matés-Juan Gordillo Lobato

DERIVADAS

  1. Función derivable en un punto. Derivadas laterales. Interpretación geométrica. Ecuaciones de las rectas tangente y normal a la gráfica de una función en un punto.
  2. Concepto de función derivada. Cálculo de derivadas.
  3. Monotonía de una función derivable. Extremos relativos.
  4. El teorema de Rolle. El teorema del valor medio de Lagrange. La regla de L'Hôpital.

  5. Puntos críticos de una función.
  6. Representación gráfica de funciones.

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TEOREMA DE ROLLE

Sea f definida en [a,b], verificando:
  1. f es continua en el intervalo cerrado [a,b].
  2. f es derivable en el intervalo abierto (a,b).
  3. f(a) = f(b).
En estas condiciones existe al menos un punto del interior del intervalo x0 c (a,b) en el que se anula la derivada primera: f´(x0) = 0 ; es decir, la recta tangente a la función en ese punto es horizontal.

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
El teorema asegura que, en las condiciones del enunciado, existe al menos un punto en el que la tangente a la curva es horizontal.
Para ir de a a b, al ser la función continua, o bien va recta (función constante) o, en al menos un punto, tiene que doblar con tangente horizontal por ser derivable.

OBSERVACIONES
Si no se verifican las condiciones del enunciado, no podemos garantizar la existencia del punto; aunque este punto pueda existir, siempre dependerá de la función de que se trate.

EJEMPLO 1

Sea f(x) = Dec(x) = x - [x] y f:[0,1]--->R. f no es continua en b = 1. Se cumplen las condiciones (2) y (3) y es f´(x) = 1 en (0,1), por lo que no existe tal punto.

EJEMPLO 2

Sea f(x) = |x| en [-1,1]. f no es derivable en 0. Se verifican las condiciones (1) y (3), pero no existe tal punto.

EJEMPLO 3

Sea f(x) = x en [0,1]. f es continua y derivable en el intervalo, pero f(0) = 0 =/= 1 = f(1). Como f´(x) = 1, no existe tal punto.

EJEMPLO 4

Sea f(x) = |x2 - 1| en [-2,2]. f es continua en [-2,2], pero no es derivable ni en -1 ni en 1, puntos interiores del intervalo; y sin embargo para x0 = 0 es f´(0) = 0.


Demostración:
Si f es constante en [-2,2], será f´(x) = 0 y el teorema queda demostrado.
Si no es constante, por ser continua en un intervalo cerrado, alcanzará su máximo y su mínimo absoluto: M y m. No puede suceder que alcance ambos en los extremos del intervalo pues sería f(a) = f(b) = M = m y la función sería constante. Por lo tanto alcanza el máximo o el mínimo en un punto x0 del interior del intervalo, y por ser derivable, ha de cumplir que f´(x0) = 0.

EJEMPLO 5

Demuestra que la ecuación 4x3 - x2 + 4x - 1 = 0 no puede tener dos raíces reales y calcula la raíz real en [0,1]. Debes usar el Teorema de Bolzano y el Teorema de Rolle.
Consideremos f(x) = 4x3 - x2 + 4x - 1 función continua y derivable en R por ser polinómica.
Supongamos que existen a , b c R tales que f(a) = f(b) = 0, y pongamos que a < b.
f:[0,1]     >R cumple las hipótesis del teorema de Rolle, por tanto existe x0 c (a,b) tal que f´(x0) = 0.
Intentemos localizarlo. Es
Luego si es f´(x0) = 0, llegamos a un absurdo, por tanto no existen tales a y b raíces.
Por otro lado, f:[0,1]     >R es continua, además f(0) = -1 < 0 y f(1) = 6 > 0; aplicando el teorema de Bolzano,
Observamos que ; aplicando Bolzano a , existe
Tomamos
Al fin:

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TEOREMA DE LAGRANGE o TEOREMA DEL VALOR MEDIO PARA EL CÁLCULO DIFERENCIAL o TEOREMA DE LOS INCREMENTOS FINITOS

Sea f definida en [a,b], verificando:
  1. f es continua en el intervalo cerrado [a,b].
  2. f es derivable en el intervalo abierto (a,b).
En estas condiciones existe un punto del interior del intervalo x0 c (a,b) tal que

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA
Este teorema expresa la existencia de un punto c de (a,b) tal que la recta tangente en T(c,f(c)) es paralela a la cuerda de extremos A(a,f(a)) y B(b,f(b)), ya que las pendientes respectivas coinciden:

OBSERVACIONES
Analicemos las hipótesis:

EJEMPLO 6

Sea f(x) = |x| en [-1,2]. Es continua en [-1,2] (1), pero no es derivable en (-1,2) (2), ya que no es derivable en 0. Por lo tanto no cumple el teorema. La pendiente de la cuerda AB es mAB=1/3 y en cambio: .

EJEMPLO 7

Sea f definida en [0,1] por
f no es continua en [0,1] (1) pero sí es derivable en (0,1) (2), y es f´(x) = 2x. Ahora y , pero

EJEMPLO 8

S Sea f(x) = |x2 - 1| en [-2,3]. Es continua en [-2,3] (1), pero no es derivable en (-2,3) (2), ya que no es derivable en -1 ni en 1. En cambio, su derivada es Como y en ese punto coinciden las pendientes.


Demostración:
Llamemos la pendiente de la cuerda (que es un número real).
Sea g(x) = f(a) + k·(x-a) la ecuación de la recta secante, que es continua y derivable en todo R (ya que se trata de un polinomio de primer grado), y por tanto continua en [a,b] y derivable en (a,b).
La distancia entre las ordenadas, que llamaremos D(x) es:
Aplicando el teorema de Rolle: .
Es

Nota
Observemos que si f(a) = f(b) obtenemos como COROLARIO el teorema de Rolle.

EJEMPLO 9

Sea f:[1,4]     >R dada por ¿Cumple las hipótesis del teorema de Lagrange?. Calcula los puntos a los que hace referencia dicho teorema.
f es continua y derivable en R - {0}, por tanto es continua en [1,4] y derivable en (1,4). Aplicando el teorema de Lagrange;
Por otro lado, y se tiene

FÓRMULA DE LOS INCREMENTOS FINITOS


Si en el teorema de Lagrange operamos:
f(b) - f(a) = f´(c)·(b-a)
Si hacemos h = b - a entonces b = a + h. El intervalo será [a,a+h]. cc(a,a+h) lo expresamos como c = a + 0·h, siendo 0c(0,1) conveniente para no salirnos. De esta forma queda:
f(a+h) = f(a) + f´(a+0·h)·h
que recibe el nombre de fórmula de los incrementos finitos.
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CONSECUENCIAS DEL TEOREMA DE LAGRANGE

TEOREMA DE CARACTERIZACIÓN DE LAS FUNCIONES CONSTANTES

Sea f derivable en un intervalo I. Entonces:

Demostración:
=>)
Inmediata
<=)
Sean a,bcI con a < b y consideremos f en [a,b] , f derivable, luego continua en [a,b]. Aplicando el teorema de Lagrange:


TEOREMA DE LA FUNCIÓN ESTRICTAMENTE CRECIENTE (DECRECIENTE)

Sea f definida en [a,b] verificando:
  1. f continua en [a,b]
  2. f derivable en (a,b)
Entonces f es estrictamente creciente (decreciente)

Demostración:
Lo vamos ha demostrar para f´(x)>0, la demostración para f´(x)<0 es similar.
Sean x1,x2c[a,b] con x1<x2. Aplicando el teorema de Lagrange a f en [x1,x2]:
y f es estrictamente creciente.

RELACIÓN ENTRE FUNCIONES CON IGUAL DERIVADA

Si dos funciones f y g tienen la misma derivada en un mismo intervalo [a,b], difieren en una constante.
Demostración:
Sea f = f - g derivable en [a,b], por ser diferencia de funciones derivables. Es:
h´(x) = f´(x) - g´(x) = 0, por tener la misma derivada, luego h es constante, y por tanto f - g es constante.


TEOREMA DE CAUCHY (TEOREMA GENERALIZADO DEL VALOR MEDIO)

Sean f y g definidas en [a,b] verificando:
  1. Son continuas en el cerrado [a,b]
  2. Son derivables en el abierto (a,b)
Entonces
Demostración:
Construimos la función siendo .
F cumple las hipótesis del teorema de Rolle:
  1. Es continua en el cerrado [a,b], por ser composición de funciones continuas.
  2. Es derivable en el abierto (a,b), por ser composición de funciones derivables. (c) F(a) = F(b), ya que:
Existe un punto cc(a,b) tal que F´(c) = 0
Como tenemos , y despejando:


Nota


Observemos que si g(x) = x obtenemos como COROLARIO el teorema de Lagrange.
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TEOREMA DE L'HÔPITAL

Sean f y g derivables en un entorno reducido de a: E*(a,r) verificando:
  1. y
  2. Existe
Entonces
Demostración:
Podemos suponer que f(a) = 0 y g(a) = 0 (si no, razonamos con las «ampliadas»).
El hecho de que exista garantiza que en un entorno Además, en ese entorno es , pues si g(x) = 0, aplicando el teorema de Rolle en [a,x] existe
Aplicando el teorema de Cauchy a f y g en [a,x] (a < x < a + r):
Es decir,
Cuando x   >a también c   >a y por tanto:
Haciendo un razonamiento análogo para (a-r,a) será:


GENERALIZACIÓN

En las hipótesis correspondientes se verifica:

EJEMPLO 10


EJEMPLO 11


APLICACIONES

  1. La regla de L'Hôpital es válida cuando , ya que bastará hacer para obtener:
  2. Resolver indeterminaciones del tipo
    Si y será
    Luego
  3. De la forma
    que será de la forma ó
  4. De la forma
    que saldrá ó
  5. De la forma , ó
    Se resuelven tomando logaritmos.
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